内容摘要： 经过大量的阅读有关压缩感知的原理、应用、研究状况等相关的书籍、文献资料，大量的阅读让我对压缩感知算法的原理、应用、研究状况已经有所了解，并且知道了自己的题目在压缩感知算法中的地位和作用。在对压缩感知算法有了一个宏观方向的把握后，我开始阅读有关Matlab这一仿真软件的开发...
经过大量的阅读有关压缩感知的原理、应用、研究状况等相关的书籍、文献资料，大量的阅读让我对压缩感知算法的原理、应用、研究状况已经有所了解，并且知道了自己的题目在压缩感知算法中的地位和作用。在对压缩感知算法有了一个宏观方向的把握后，我开始阅读有关Matlab这一仿真软件的开发和应用的书籍，期刊资料。因为研究的课题主要用到的仿真软件就是Matlab，所以在这方面花了些精力，在了解了其基本的使用方法之后，又去阅读了有关稀疏表示理论方面的书籍，期刊资料，由于这一部分以前没有学习过，所以除了对其理论重点把握之外，还将重点放在了对其仿真分析方面。下面我挑选一些我所阅读的比较典型的资料，并根据这些资料说说我的收获。
1984年香农首次提出奈奎斯特采样定理，亦称香农采样定理，主要描述了信号的采样和重构两个过程：首先是连续时间信号到离散时间信号的转换，其次是离散信号到连续信号的还原。该采样定理强调：在采样的过程中，奈奎斯特频率必须高于信号最高频率的两倍，才能完全恢复原信号，否则就会导致混叠现象的出现。这种先高采样后再压缩去冗余的模式，浪费了大量的采样资源和计算资源。由此，在信号处理的过程中，若能同时实现采样和压缩过程，既能够保持原信号信息，又不需要满足奈奎斯特采样定理要求的频率限制，就可完成原始信号的精确或近似重构，这样则能降低计算的成本和信号处理的时间复杂度。为了解决此问题，出现了多种新的采样理论，如：带通采样定理、不规则采 样法、小波变换采样定理、变分方法采样、以及由Vellt等提出的基于有限采样率的信号采 样理论能以较低的采样速率完成信号的采集．而压缩感知理论的出现，为信号采 集与恢复提供了新的方法。压缩感知理论通过研究 信号的稀疏特性，证明了一个有稀疏表示的有限维信号可以通过非线性重建算法来重构原始信号，即压缩采样。在压缩采样后，可以利用少量的观测值完成原始信号的恢复。由Candes、Tao和Donoho等提出的压缩 感知理论作为一种新的信号采样、解编码理论，如果 信号是稀疏的或具有可压缩性，则用少量信号的投影值就可精确或近似地完成原始信号的重构；1993年，Mallt和Zhang提出了匹配追踪算法,首次将超完备字典应用于原始信号的稀疏分解之中；2008年Ruhut等将压缩感知理论从正交基空间进而推广到对超完备冗余字典中的信号进行恢复研究；Trupt证明了当测量矩阵是高斯矩阵或贝努利随机矩阵时，对稀疏信号可利用 贪婪算法进行重构；Needle等提出当测量矩阵满足UUP条件时的ROMP算法．以上述研究成果标志着信号的稀疏表示经历了从变换到字典的思路转变，字典允许信号在表示域中不只是单一的描述，还可以根据特定的要求从中选取出最优的表示．此外，字典的设计和信号的编码过程还可以分开描述：若给定一个字典，可能存在不同的代价函数，并且可以运用不同的编码方法进行表示和重构．近年来，随着多尺度分析方法的发展和计算机性能的提高，由Hou和Donoho提出的组合变换图像稀疏表示理论及运用进一步推动了该领域的发展。自压缩感知理论提出以来，有诸多学者在理论应用方面进行了一系列的研究。近年来，曹宇明等对图像的多成分混合字典的压缩感知表示及重构进行了研究；周燕等基于压缩感知对图像的检索方法进行了研究；叶慧基于Curthu变换的图像压缩感知重构研究；李然等联合时空特征的视频分块压缩感知重构研究；唐宇等基于自适应特征融合提出了一种改进的压缩感知重构算法，用于处理运动目标外观或背景变化较大的图像；毛静等将压缩感知用于语音信号处理中，提出了自适应观测矩阵和自适应冗余字典KSVD算法，对压缩重构算法进行了改进；侯娟等将小波变换压缩感知应用到断口图像的处理中，为图像重构方法提供了新思路。
压缩感知理论的提出引起了信号处理领域的一场新革命，也引起了众多专家学者的关注。压缩感知理论提出将数据的采样与压缩合二为一，就是在获取信号的同时就对信号进行适当的压缩，要实现这一点，主要依靠稀疏性与不相关性这两条规则。稀疏性是对于目标信号来说的，指的是当把信号表达在合适的基上时，信号是稀疏的或者可压缩的，并且大多数自然信号都具备这一特性。不相关性是对于观测模型来说的，是指在对信号进行观测时，要把信号在稀疏基上的表示扩散开，即观测时需要信号的密集表示，而不是稀疏表示，也就是说稀疏基与观测矩阵不相关。压缩感知理论指出只要信号在某个变换域下是稀疏的或可压缩的，就一定能通过合适的重构算法从少数测量值中高概率的重构出原始信号。利用压缩感知恢复原始信号的过程可分为三个步骤，分别为信号的稀疏表示，观测矩阵的设计和信号的重构算法，其理论框架可用图1表示。
图1 压缩感知理论框架
利用压缩感知理论对图像进行去噪的基本原理在于常见的图像大多数都是稀疏的或者可以压缩的，对于含噪图像而言，图像中的有用信息可以通过稀疏分解用特定的原子来进行表示，具备一定的结构性；而图像中的噪声往往是随机的，不具备一定的结构特性，是非稀疏的，无法用原子来表示。
压缩感知作为一个全新的采样和处理技术，它指出如果信号是可压缩的，或者在某个变换域能够稀疏表示，就能将该高维信号通过一个非相关矩阵通过最优化方法从观测向量中恢复出来。该理论的核心思想是压缩和采样过程合二为一，降低了采样率，缓解了信号采样端的压力，从而有效的节省了信息的获取时间和存储空间。目前，国内外研究者主要围绕如何进行信号的稀疏分解、构造合适的测量矩阵和如何设计快速高效的重构算法等三个核心内容展开研究。其中，信号的稀疏表示是压缩感知理论研究的先验条件；构造适合的测量矩阵是压缩感知测量值获取的关键，快速高效的重构算法是研究的核心。
2004年，由D.Donoho,E.Cande等人提出的压缩感知（Compressed Sensing，CS）理论是一个充分利用信号稀疏性或压缩性的全新信号采集，编解码理论。压缩感知包括三个比较重要的层面：信号稀疏域的选取、观测矩阵的选取、重构算法的设计。重构算法是其研究的核心，重构算法包括贪婪算法，凸优化重构算法和高斯重构算法。
第一类是贪婪迭代算法，针对组合优化问题提出，该类算法主要是将信号与原子字典之间的联系作为测量原子（系数）更加有效或非零的一种方式。基本原则就是通过迭代的方式寻找稀疏向量的支撑集，并且使用受限支撑最小二乘估计来重构信号。算法的复杂度大多是由找到正确支撑集所需要的迭代次数决定的，算法计算速度快但是需要的测量数据多且精度低。
第二类是凸优化算法或最优化逼近方法，这类方 法通过将非凸问题转化为凸问题求解找到信号的逼近，其中最常用的方法为基础追踪算法（BP，Basic Pu suit），该算法提出使用范数替代范数来解决最优化问题，以便使用线性编程方法来执行。另一种算法为FOCUSS算法，该算法使用范数（）替代 范数求解最优化问题。另外，通过极小化范数的平滑转换求解问题，称之为方法。该类算法计算速度慢(计算复杂性为N3)， 但需要的测量数据少（O（K*log（N／K））且精度高。 另外两种比较常见的凸松弛算法包括GPSR（GradientProjection for Sparse Reconstnlction）算法和SPARSA（sparse reconstruction by separable approximatjon）算法。GPSR算法通过使用梯度降的方法求解有界约束最优化问题，算法要求投影在可行域中以确保迭代过程的可行性。
第三类算法是基于贝叶斯框架提出的重构算法，该类算法考虑到了信号的时间相关性，特别是当信号 具有较强的时间相关性时，能够提供比其他重构算法更优越的重构精度。
以上是我对各种压缩感知算法的初略整理，通过整理这些算法，我对算法有了一个大方向的了解，同时对后面毕业设计所需要用到的算法有了明确的选择。
最后我还学习了有关Matlab软件的特点，阅读了期刊《技术应用》，里面有一篇文章，作者为白洋和邓家先。先简单介绍图像超分率重建技术的概念，以及Matlab的特点，随后分别介绍Matlab在获取低分辨图像序列、图像配准以及图像重建中的应用。
Matlab的名字是Matrix Laboratory（矩阵实验室）单词的缩写。美国计算机专家Cleve Moler博士于20世纪70年代末提出构想，并在1984年和John Little、Steve Bangert合作成立了Math Works公司，开发出了Matlab软件，并推向了市场。一开始它只是一种专门用于矩阵数值计算的软件，随着不断的开发让它的功能越来越强大，已经成为当今最优秀的应用软件之一。它有着如下特点：科学计算、先进的可视化工具、直观灵活的语言、开放性及扩展性强，另外还具有特殊应用的工具箱。超分辨率图像重建步骤一般分为三个部分：获得具有互有位移的低分辨图像序列、图像配准、图像重建。Matlab在这三个部分能起到重要的作用。现今获取互有位移的低分辨图像图像序列的方法主要有两种，一种就是通过精密的数字成像设备进行错位拍摄，另外一种就是对高分分辨图像进行位移后的降采样得到。第一种方法往往需要花费很多经费来购买昂贵的设备，并且操作也比较复杂。第二种方法是通过软件来实现，所以更方便使用。能实现此功能的语言很多，如C语言，java语言，matlab等，但是当中matlab是最简洁的。文章中列举了C语言程序，可以看出，matlab中的语言更简洁，而且容易为人所阅读。
Matlab在重建中的作用主要有三点：
1、Matlab是一种演算式科学算法语言，其编程运算与人进行科学计算的思路和表达方式完全一致，编写程序犹如在演算纸上排列出公式于求解问题。只要程序员写出了算法的公式那么用Mat1ab来编程就相对容易。
2、超分辨率图像重建技术往往要将图像函数由空间域变换到率域内,此时则要进行图像变换,Matl1ab中恰好有很多现成的图像变换函数如快速傅立叶变换函数fft及反函数,离散余函数dec及其反函数,哈达路函数及其反函数,Rm函数及其反函数,小波变换函数及其反函数等,这些函数为程序员实现图像变换提供了便利。Malab提供的多种图像恢复的方法，如维纳滤滤波算法，约束最小二乘算法,盲卷积算法。这些算法方便提高图像重建后的质量。
通过阅读书籍与文献资料我初步形成了实现的基于稀疏表示的压缩感知重建算法设计与仿真分析方法。先分析压缩感知算法的有关理论基础、技术特点，以及国内外研究现状，在确定了研究重点和难点的基础上，从字典的设计，图像约束方式的使用，样本类型的选择、映射函数的建模等方面深入研究，在压缩感知算法中应用稀疏表示的先验来求解，以基于稀疏表示的超分辨率重建技术作为研究对象，结合目前图像处理和机器学习领域的新理论、新方法，结合稀疏表示理论并通过实验仿真巧算法进行分析和验证。示理论和字典学习展开探讨，通过压缩感知算法提升图像质量，改善图像视觉效果。
