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数学建模与计算机仿真在生物工程中的应用文献综述
摘要：21世纪是生物工程学的世纪，在生物工程学中，生物工程数学占有十分重要的地位。生物工程数学是生物工程学与数学之间的边缘学科，以数学方法研究和解决生物工程学问题，并对与生物、学有关的数学方法进行理论研究。本文综述了生物工程数学的起源、现状和发展，希望能起一个疏导作用。
关键词：边缘学科；生物工程学问题；疏导作用
1前言
数学建模是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学建模一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学建模的过程就称为数学建模。不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学建模，并加以计算求解。数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用可谓是如虎添翼。
数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性，结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性，自从20世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在21世纪这个知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿。经济发展的全球化、计算机的迅猛发展，数理论与方法的不断扩充使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。
2 主题
2.1起源
生物工程数学的起源可以追溯到19世纪末，最早是统计学在生物工程学中的应用，1901年英国著名统计学家Pearson创办的《生物统计学杂志》（Biometrika），标志着生物工程数学发展的起点。因为生命现象中大量出现重复的随机的现象，迫切需要统计的方法来研究这种随机性。随着概率统计理论的进一步发展于应用，生物统计的应用也不断的被推广。D ’A. W. Thomp son对这一阶段的研究成果作了总结, 写出一部巨著《论生长与形式》, 作为生物工程数学萌芽阶段的代表作。在这本著作中提出了许多古典的生物工程数学问题, 直到今天仍然引起某些学者的关注, 进行讨论和研究[1] 。
20世纪20年代以后，生物工程学和物理学的结合，生物工程学和数学多个方向的结合都大大的推动着生物工程数学的发展。人们应用各种数学工具，建立起各种数学建模来模拟生命活动，帮助揭示生物工程学中的本质。以拉舍夫斯基为代表的形成了生物物理学派，创办了《数学生物物理学通报》（现在改名为《数学生物工程学通报》）.意大利生物工程学家Ancona对第一次世界大战期间亚得里亚海湾的渔业生产作了研究发现，在战争年代, 鳖鱼等大鱼的捕量占总量的百分比急剧增加, 而战后又趋正常战时。数学家Volterra对物现象作了分析, 略去一些次要因素, 建立数学建模, 引出微分方程式, 通过解微分方程,得到大体与实际相符合的结论, 经略加修正就可用于指导渔业生产这一原理也适用于生态平衡、环境保护、人口统计、疾病防治等。后来,人们称它为Volterra原理, 伏尔泰拉总结了他的研究成果, 写成《生存竞争的数学原理》一书, 这是一部系统记述数学向生物工程学渗透成果的著作, 它的问世, 促进了数学向生物科学的渗透, 成为现在的生物工程数学的一个重要研究侧面[2].
20世纪40年代计算机的发明和应用，复杂生命现象的大量计算有了较好的解决方法，大大的促进了生物工程数学由定性向定量的转变，催生了生物控制论，生物信息论的应用和发展。
到了20世纪70年代，生物工程数学已经把数学学科的绝大多数内容置于自己的理论基础之中，形成了自己完整的数学理论基础，从而形成了一门独立的学科。实际上很多学科也是在生物工程数学中的应用中才让人们看到了它们的魅力，才不断的形成了自己的理论基础的。比如统计学，实际上就是因为其在人口问题和其他很多生物问题中发挥了很大的作用才不断被人们研究和扩展，建立起来概率统计的理论基础。又如模糊数学从成立之初就受到很多数学家的怀疑和质疑，但由于它在生物工程学中的广泛应用而不断让人们重新认识，不断提出理论来完善它。所以生物工程数学就是在这种数学应用于生物中建立和完善起自身的体系的，同时又推动了数学理论的新的发展[3]。
2.2现状
应该说生物工程数学成为一门独立的学科时间还非常短，但是我们已经可以看到它的应用却非常广泛，21世纪生物技术是推动社会发展最重要的力量，所以生物工程数学的发展必定具有非常光明的前景。
2008年9月3日，美国国家科学基金会（NSF）宣布将投资1600万美元用于建立国立数学生物工程学综合研究所（NIMBioS），该所将建在位于美国田纳西州东部诺克斯维尔市的田纳西州州立大学。美国将召集来自世界各地的生物工程学家和数学家，在这个新的研究所用数学和生物工程学交叉研究的办法进行创造性的研究，共同致力于这两个学科所要迫切解决的问题。20世纪中期，随着蛋白质空间结构的解析和DNA双螺旋结构的发现，科学进入了以遗传信息载体核酸和生命功能执行者蛋白质为主要研究对象的分子生物工程学时代。分子生物工程学的诞生使传统的生物工程学研究转变为现代实验科学，但生命科学领域的实验科学与其他实验科学如实验物理学相比，更多的是注重经验，而非抽象的理论或概念。而且，生物工程学家们大多关注定性的研究，以发现新基因或新蛋白质为主要目标，对于定量的研究，如分子动力学过程等，没有给予足够的重视。尽管如此，现代生命科学在20世纪的下半叶还是取得了丰硕的成果。NSF生命科学学部副主任James Collins表示：“随着后基因组时代的到来，生物工程学研究者的定量研究能力和知识，已不再是可有可无的了。”
可是尽管数学一直在现代生命科学中扮演着一定的角色，如数量遗传学、生物工程数学等，但生物工程学家真正体会到数学的重要性，还是最近十几年来的事情。对细胞和神经等复杂系统和网络的研究，导致了数学生物工程学（mathematical biology）的诞生。NSF为此专门启动了一项“定量的环境与整合生物工程学”项目，以鼓励生物工程学家把数学应用到生物工程学研究中去。几乎在同一时间，美国国立卫生研究院也设立了一项“计算生物工程学”的重大项目。
美国国家科学基金会在2000年10月向国会提交的报告中称，数学是当前所有新兴学科和研究领域的基础，要求下一年度对数学的资助要增加3倍以上，达到1.21亿美元。在这些增加的预算中，有很大一部分被用来支持数学与其他学科的交叉研究，尤其是数学与生物工程学的交叉研究项目。该研究所主任、田纳西州州立大学数学和生物工程学家Louis Gross说：“将数学和生物工程学结合是一种独特的学科交叉的研究方法，不久的将来，NIMBioS一定会在全球产生深刻的影响。”据了解，NIMBioS将针对美国面临的有关领域内的特殊问题，组织数学、生物及其他领域的研究人员解决相关问题。研究所也将定期举办关于生物工程学以及计算生物工程学的大型学术会议。NSF数学物理学部副主任Tony Chan表示：“NIMBioS是一项跨数学、生物工程学以及其他自然科学的战略投资，并侧重对数学和生物工程学的交叉研究。NSF数学物理学部会积极配合生物工程学部认真完成这项计划。”预计每年会有600多名研究人员前往田纳西州的NIMBioS，组成相关工作组或参加NIMBioS举办的学术会议。
国内生物工程数学的开创者当首推杨纪珂教授，杨教授一直从事生物统计的研究工作，在国内发表了第一批有关生物工程数学和数量遗传方面的专著，主持成立了生物工程数学研究组。随后，陈兰荪，马知恩教授等人一起推动了我国生物工程数学的研究，筹建了全国生物工程数学专业委员会，创办了生物工程数学学报。推动了火灾生态效应的数学建模，种群动力系统的时空效应 ，阶段结构种群动力模型研究，茶树害虫防治与半连续动力系统等生物问题的研究和发展[4]。
生物工程数学近年来在我国发展得非常快。许多生物工程学工作者越来越感到需要用较多的数学工具来研究与解决生物工程学中的问题,也就是说, 与生物科学密切相关的各个学科中的高等数学份量有着越来越接近或超过工科院校的趋势.生物统计学是生物工程数学的基础。这是因为生命现象是物质运动的高级形式, 影响生命现象的因素特别多, 其中大多数都不是人为所能控制或掌握的。因此, 生物工程数学的各个分支中, 数理统计这一工具大多是必不可少我国的生物工程数学在发展与应用上[5].
2.3发展趋势
英国邓迪大学的Chaplain Mark 教授在《从突变到转移的肿瘤生长的多尺度的数学建模》中介绍了一个新的稳定肿瘤生长多尺度数学建模，展示了利用多尺度数学建模，可推算细胞粘附的控制可能是协调细胞迁徙的。
东北师范大学的Fan Meng 教授题为《外来入侵物种的影响及对其的控制》的报告是关于生物入侵的最重要的话题之一。入侵物种影响生物多样性、栖息地品质和生态系功能，外来入侵物种对生物多样性的威胁仅次于栖息地损失。分析了对入侵野猫和老鼠的影响和拯救濒危本地物种的最优控制策略。
英国赫瑞·瓦特大学的Sherratt Jonathan 教授演讲在《循环种群中的生态入侵》中提到在循环动态种群中，入侵导致规则的时空振荡，或时空混沌，如何确定哪种情况会发生，这是一个生态学参数的函数。典型的入侵剖面图是波状图，入侵之前是规则振荡，而在入侵之后则变为混沌。如果不规则振荡在整个领域被入侵前进一步变化，则其长期表现为时空混沌；如果没有进一步变化，则在入侵完成后稳定为空间均匀振荡。因此，函数长期表现的决定性因素是规则振荡波的宽度[6]。
生物入侵的机制与控制已经成为生态学关注的重点和研究的热点问题.建立数学建模是解释生物入侵机制的主要手段,对外来生物包括疾病的入侵扩散过程进行模型分析不仅具有重要的理论意义,还有助于风险评估,特别对入侵进行早期预测、控制、科学管理与防治.然而,目前有关生物入侵的数理模型方法还远不能满足实际的需要。生物入侵可能会导致巨大的经济和生物多样性的影响,因此研究的影响深刻的外来物种入侵是必要的。摘要近年来,由于对数量的急剧增加的外来物种,其侵入性效应有越来越受到关注[7].
从目前情况看，国内关注的问题涉及面较宽，主要是生态学、农学方面的数学问题；国外关注的问题相对集中，聚焦于医药学、生理学等方面的数学问题。
3 总结
生物工程数学是生物工程学与数学之间的边缘学科。它以数学方法研究和解决生物工程学问题，并对与生物工程学有关的数学方法进行理论研究。生物工程数学的分支学科较多，从生物工程学的应用去划分，有数量分类学、数量遗传学、数量生态学、数量生理学和生物力学等；从研究使用的数学方法划分，又可分为生物统计学、生物信息论、生物系统论、生物控制论和生物方程等分支。这些分支与前者不同，它们没有明确的生物工程学研究对象，只研究那些涉及生物工程学应用有关的数学方法和理论。 生物工程数学具有丰富的数学理论基础，包括集合论、概率论、统计数学、对策论、微积分、微分方程、线性代数、矩阵论和拓扑学，还包括一些近代数学分支，如信息论、图论、控制论、系统论和模糊数学等。
生物工程数学建模能定量地描述生命物质运动的过程，一个复杂的生物工程学问题借助数学建模能转变成一个数学问题，通过对数学建模的逻辑推理、求解和运算，就能够获得客观事物的有关结论，达到对生命现象进行研究的目的。各种生物工程数学方法的应用，对生物工程学产生重大影响。20世纪50年代以来，生物工程学突飞猛进地发展，多种学科向生物工程学渗透，从不同角度展现生命物质运动的矛盾，数学以定量的形式把这些矛盾的实质体现出来。从而能够使用数学工具进行分析；进行精确的运算；还能把来自名方面的因素联系在一起，通过综合分析阐明生命活动的机制。总之，数学的介入把生物工程学的研究从定性的、描述性的水平提高到定量的、精确的、探索规律的高水平.
—般说来建立数学建模的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.下面给出建模的—般步骤：
(1)建模准备
数学建模是一项创新活动，它所面临的课题是人们在生产和科研中为了使认识和实践进一步发展必须解决的问题。“什么是问题？问题就是事物的矛盾，哪里有没解决的矛盾，哪里就有问题”。因此发现课题的过程就是分析矛盾的过程贯穿生产和科技中的根本矛盾是认识和实践的矛盾，我们分析这些矛盾，从中发现尚未解决的矛盾，就是找到了需要解决的实际问题，如果这些实际问题需要给出定量的分析和解答，那么就可以把这些实际问题确立为数学建模的课题，建模准备就是要了解问题的实际背景，明确建模的目的，搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料.
(2)建模假设
作为课题的原型都是复杂的、具体的，是质和量、现象和本质、偶然和必然的统一体，这样的原型，如果不经过抽象和简化，人们对其认识是困难的，也无法准确把握它的本质属性。建模假设就是根据实际对象的特征和建模的目的，在掌握必要资料的基础上，对原型进行抽象、简化，把那些反映问题本质属性的形态、量及其关系抽象出来，简化掉那些非本质的因素，使之摆脱原型的具体复杂形态，形成对建模有用的信息资源和前提条件，根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，并且用精确的语言作出假设，是建模过程关键的一步。对原型的抽象、简化不是无条件的，一定要善于辨别问题的主要方面和次要方面，果断地抓住主要因素，抛弃次要因素，尽量将问题均匀化、线性化，并且要按照假设的合理性原则进行，假设合理性原则有以下几点：
①目的性原则：从原型中抽象出与建模目的有关的因素，简化掉那些与建模目的无关的或关系不大的因素。
②简明性原则：所给出的假设条件要简单、准确，有利于构造模型。
③真实性原则：假设条件要符合情理，简化带来的误差应满足实际问题所能允许的误差范围。
④全面性原则：在对事物原型本身作出假设的同时，还要给出原型所处的环境条件。
一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样．
(3)模型建立
在建模假设的基础上，分析对象的因果关系，进一步分析建模假设的各条件首先区分哪些是常量，哪些是变量，哪些是已知量，哪些是未知量；然后查明各种量所处的地位、作用和它们之间的关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量(常量和变量)之间的等式(或不等式)关系，列出表格、画出图形或其他数学结构，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出刻画实际问题的数学建模。
在构造模型时究竟采用什么数学工具，要根据问题的特征、建模的目的要求以及建模者的数学特长而定 可以这样讲，数学的任一分支在构造模型时都可能用到，而同一实际问题也可以构造出不同的数学建模，一般地讲，在能够达到预期目的的前提下，所用的数学工具越简单越好。
在构造模型时究竟采用什么方法构造模型，要根据实际问题的性质和建模假设所给出的建模信息而定，就以系统论中提出的机理分析法和系统辨识法来说，它们是构造数学建模的两种基本方法。机理分析法是在对事物内在机理分析的基础上，利用建模假设所给出的建模信息或前提条件来构造模型；系统辨识法是对系统内在机理一无所知的情况下利用建模假设或实际对系统的测试数据所给出的事物系统的输入、输出信息来构造模型。随着计算机科学的发展，计算机模拟有力地促进了数学建模的发展，也成为一种构造模型的基本方法，这些构模方法各有其优点和缺点，在构造模型时，可以同时采用，以取长补短，达到建模的目的。
(4)模型求解
构造数学建模之后，再根据已知条件和数据分析模型的特征和结构特点，设计或选择求解模型的数学方法和算法，这其中包括解方程、画图形、证明定理、逻辑运算以、数值计算及稳定性讨论等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术，特别是编写计算机程序或运用与算法相适应的软件包，并借助计算机完成对模型的求解。
(5)模型分析
根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或根据问题的性质分进行变量之间的依赖关系分析，或进行稳定性分析，或根据所得结果给出数学上的预报，或可能要给出数学上的最优决策或控制，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等。通过分析，如果不符合要求，就修改或增减建模假设条件，重新建模，直到符合要求；通过分析如果符合要求，还可以对模型进行评价、预测、优化等。
(6)模型检验
模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模型进行检验，用实际现象、数据等检验模型的合理性和适用性，看它是否符合客观实际，若不符合，就修改或增减假设条件，重新建模，循环往复，不断完善，直到获得满意结果，这一步对于建模的成败是非常重要的，要以严肃认真的态度来对待．当然，有些模型如核战争模型就不可能要求接受实际的检验了． 目前计算机技术已为我们进行模型分析、模型检验提供了先进的手段，充分利用这一手段，可以节约大量的时间、人力和物力。
(7)模型应用
模型应用是数学建模的宗旨，也是对模型的最客观、最公正的检验，应用的方式自然取决于问题的性质和建模的目的， 因此，一个成功的数学建模，必须根据建模的目的，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学建模在生产和科研中的特殊作用。
应当指出，以上介绍的数学建模基本步骤应该根据具体问题灵活掌握，并不是所有建模过程都要经过这些步骤，有时各步骤之间的界限也不那么分明．或交叉进行，或平行进行，建模时不拘泥于形式上的按部就班，则有利于建模者发挥自己的才能。
参考文献
[1]徐克学，生物工程数学[M],北京：科学出版社，1999.
[2] 黄汉平, 从生物工程数学的诞生谈起[J],数学通报，1987，5:44-45.
[3] 张凤琴, 生物工程数学发展概述[J],运城学院学报，2005,23(5)：1-3.
[4]陆征一，周义仓，数学生物工程学进展 [M],北京：科学出版社，2005.
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[7] Roy, H.E., Lawson Handley, L.J., Scho¨nrogge, K., Poland, R.L., Purse, B.V., 2011. Can the enemy release hypothesis explain the success of invasive alien predators and parasitoids? BioControl 56, 469–476.
